出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "正弦定理" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2018年2月) |
| この記事は 英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。(2024年5月)翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
- 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン(Google翻訳)。
- 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。
- 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。
- 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。
- 翻訳後、
{{翻訳告知|en|Law of sines|…}} をノートに追加することもできます。
- Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
|
正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。
△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、
が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。
これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した
- あるいは
を正弦定理であると表現することもできる。
以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。
- 0 < ∠A < π/2 のとき
直径 BD を取る。
円周角の定理より ∠A = ∠D である。
△BDC において、BD は直径だから、
である。よって、正弦の定義より、
である。ゆえに
変形すると
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
- ∠A = π/2 のとき
BC = a = 2R であり、
であるから、
は成り立つ。
- π/2 < ∠A < π のとき
直径 BD を取る。
円に内接する四角形の性質から、
である。つまり、
となる。
BD は直径だから、
である。よって、正弦の定義より、
である。変形すると
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
以上より正弦定理が成り立つ。
また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」(円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理)を導くことができる。
球面三角法における正弦定理[編集]
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、
が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]